1.1.1 Verinin yüklenmesi:

veri <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/gungorrbaris/zaman-serisi-analizi-R/main/data/Table_7.6_Electricity_End_Use.csv")
knitr::kable(head(veri), align = "c")

1.1.2 Verinin Düzenlenmesi:

Tarih değişkenini Ay-Yıl formatına getirelim:

tarih = seq(from = as.Date("1973-01-01"), to = as.Date("2021-11-01"), by = 'month')
veri$Month <- tarih
veri$Month <-format(veri$Month, "%m-%Y")
knitr::kable(head(veri), align = "c")

Değişken isimlerini türkçeleştirelim:

colnames(veri) <- c("Tarih","Elektrik_Tuketimi")
knitr::kable(head(veri), align = "c")

! BİLGİ !

Gecikmeli seri: Serilerdeki verilerin dönem kaydırılması işlemi ile ortaya çıkan serilerdir. Zt bir zaman serisi değişkeni ise; bir dönem gecikmeli zaman serisi Zt-1, iki dönem gecikmeli Zt-2 ve k dönem gecikmeli Zt-k ile gösterilir.

Otokorelasyon katsayısı: Zaman serileri ile bu serilerin gecikmeli serileri arasındaki ilişkileri verir.

ACF: Otokorelasyon fonksiyonu (Autocorrelation function) demektir. Otokorelasyon katsayısı değerlerinden oluşur.

Seride trendin olduğunu anlamak için ACF grafiğindeki ilk dört gecikmeye bakmak yeterlidir. İlk dört gecikme sınırlar dışındaysa seri için “trende sahiptir” diyebiliriz.

library(fpp)
Acf(veri_ts,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Orijinal veri ACF Grafiği")

ACF Grafiğine bakıldığında:

• Tüm gecikmeler (4 gecikme olması yeterlidir) sınırlar dışında olduğu için zaman serisinin trende sahip olduğu söylenebilir. Bu yüzden serinin farkı alınıp durağan hale getirilmelidir.

• Trend ile birlikte düzenli dalgalanmaların olduğu gözükse de baskın bir mevsimsellikten şu an için bahsedemeyiz.

! BİLGİ !

Fark Alınması: Zaman serisinin akışkanlı bir şekilde son değerlerinden belli bir dönem önceki değerlerinin çıkarılması işlemidir. Bu işlem sayesinde serideki trend ya da mevsimsel dalgalanmaları yok etmek mümkün olmaktadır.

veri_birinci_fark <- diff(veri_ts, differences = 1)

2.4.1 Farkı alınmış seri için ACF:

Acf(veri_birinci_fark,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Birinci Fark sonrası ACF Grafiği")

MEVSİMSELLİK

Birinci Farkı alınmış seri için ACF Grafiğine bakıldığında:

• Yine tüm gecikmeler sınırlar dışında olduğu için birinci farkı alınmış zaman serisinin de trende sahip olduğu söylenebilir. Fakat bir öncekine göre bu ACF grafiğinde baskın bir mevsimsellik görülüyor. Dalgalanmalar ve gecikmelerdeki düzenli sıçramalar bunu destekliyor.

! BİLGİ !

Mevsimsel Farkın Alınması: Normal fark işleminden tek farkı periyodunun işleme dahil edilmesidir.

Periyodun bulunması:

• Kullandığımız veri aylık olduğu için periyodunun 12 olduğunu biliyoruz.
• Periyodun bilinmediği durumlar için en iyi yöntem ACF değerlerine bakmaktır.

ACF ile periyodun bulunması:

Acf(veri_birinci_fark,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Birinci Fark sonrası ACF Grafiği",plot=FALSE)

## 
## Autocorrelations of series 'veri_birinci_fark', by lag
## 
##      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10 
##  1.000  0.325 -0.301 -0.623 -0.391  0.250  0.482  0.252 -0.381 -0.613 -0.278 
##     11     12     13     14     15     16     17     18     19     20     21 
##  0.335  0.910  0.319 -0.284 -0.615 -0.370  0.249  0.468  0.247 -0.366 -0.596 
##     22     23     24     25     26     27     28     29     30     31     32 
## -0.279  0.337  0.874  0.306 -0.271 -0.600 -0.354  0.240  0.461  0.252 -0.370 
##     33     34     35     36     37     38     39     40     41     42 
## -0.584 -0.271  0.328  0.857  0.301 -0.274 -0.575 -0.348  0.235  0.455

İhtiyacımız olan en büyük ve en büyük ikinci değer arasında kaç gecikmenin olduğunu bulmaktır. (Burada ilk değer dahil edilmemelidir.)

ACF değerlerine bakıldığında:

• En büyük değerin 12. gecikme (0.910), en büyük ikinci gecikmenin ise 24. gecikme (0.874) olduğu gözükmektedir.

• 12 ve 24 gecikme arasında toplam 12 değer olduğu için; birinci farkı alınmış serinin periyodunun 12 olduğunu söyleyebiliriz.

2.5.2 Mevsimsel Fark İşlemi:

veri_ts_mev1 <- diff(veri_birinci_fark,12)

2.5.3 Mevsimsel Farkı alınmış seri için ACF:

Acf(veri_ts_mev1,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Birinci Mevsimsel Fark sonrası ACF Grafiği")

Birinci Mevsimsel Farkı alınmış seri için ACF Grafiğine bakıldığında:

• İlk dört gecikmeden sadece iki tanesi sınırları geçtiği için trendin kaybolduğunu söyleyebiliriz.

• Düzenli dalgalanmaların dolayısıyla mevsimselliğin de kaybolduğunu söyleyebiliriz.

Seri Neden Durağan Omalı?

• Zaman serisi ile ilgili yapılan çalışmalar serinin Durağan olduğunu varsayar. Çünkü bir zaman serisi durağan değilse, serinin davranışını sadece ele alınan dönem için inceleyebiliriz.

• Dolayısıyla Bundan sonraki İşlemlerde durağan hale getirilen (Bir normal, bir mevsimsel fark işleminden sonra) seri üzerinden analiz yapılacaktır.
  
  
  

3.1.1 Trend Bileşeni ve Periyodun Bulunması

Trend Bileşeni:

Serinin Trend Bileşeni Regresyon analizi yardımı ile oluşturulur.

veri_trend <- tslm(veri_ts~trend)

• Burada dikkat edilmesi gereken, denkleme orijinal serinin eklenmiş olmasıdır.

• Oluşturulan Regresyon denklemindeki fitted.values değişkeni dikkate alınır.

• fitted.values değişkeni orijinal serinin trend bileşeni olur.

head(veri_trend[["fitted.values"]],n=36)

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
## 1973 149788.4 150157.2 150526.1 150895.0 151263.9 151632.8 152001.6 152370.5
## 1974 154214.9 154583.8 154952.7 155321.5 155690.4 156059.3 156428.2 156797.0
## 1975 158641.4 159010.3 159379.2 159748.1 160117.0 160485.8 160854.7 161223.6
##           Sep      Oct      Nov      Dec
## 1973 152739.4 153108.3 153477.1 153846.0
## 1974 157165.9 157534.8 157903.7 158272.6
## 1975 161592.5 161961.3 162330.2 162699.1

Periyodun Bulunması:

Orijinal zaman Serisi ve trend bileşeninin farkını alarak periyodu bulabiliriz.

periyot_trend <- veri_ts - veri_trend[["fitted.values"]]

Serinin periyoduna sahip mevsimsel bileşen serisinin ACF değerleri ile periyodu bulalım:

Acf(periyot_trend,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,plot=FALSE)

## 
## Autocorrelations of series 'periyot_trend', by lag
## 
##      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10 
##  1.000  0.720  0.265 -0.021  0.043  0.320  0.455  0.318  0.040 -0.025  0.246 
##     11     12     13     14     15     16     17     18     19     20     21 
##  0.673  0.916  0.653  0.218 -0.057  0.012  0.287  0.416  0.281  0.009 -0.057 
##     22     23     24     25     26     27     28     29     30     31     32 
##  0.204  0.622  0.853  0.602  0.185 -0.078 -0.006  0.260  0.387  0.257 -0.015 
##     33     34     35     36     37     38     39     40     41     42 
## -0.079  0.177  0.587  0.814  0.567  0.158 -0.097 -0.029  0.230  0.354

ACF değerlerine bakıldığında:

• En büyük değerin 12. gecikme (0.916), en büyük ikinci gecikmenin ise 24. gecikme (0.853) olduğu gözükmektedir.

• 12 ve 24 gecikme arasında toplam 12 değer olduğu için; birinci farkı alınmış serinin periyodunun 12 olduğunu söyleyebiliriz.

Buradaki başlıkta periyot bulma işlemini yapmış ve aynı sonuca ulaşmıştık.

Mevsimsel, döngüsel veya düzensiz dalgalanmaları yok etme ya da belli bir miktar düzleştirme amacıyla basit hareketli ortalama ya da merkezsel hareketli ortalama işlemlerine ihtiyaç duyulmaktadır.

Ayrıştırma Yönteminde merkezsel hareketli ortalamayı mevsimsel bileşeni bulmak için kullanacağız.

3.1.2 Merkezsel Hareketli Ortalama Hesabı

veri_trend_1 <- ma(veri_ts, order = 12, centre = TRUE)

Burada order = germe sayısı, bir önceki adımda bulduğumuz periyot ile aynı olmalıdır.

3.1.3 Mevsimsel Bileşenin Bulunması

Mevsimsel bileşene ulaşmak için yukarıda hesapladığımız merkezsel hareketli ortalama serisini, orijinal seriden çıkartmamız gerekiyor.

mevsim3 <- veri_ts - veri_trend_1
head(mevsim3,n=36)

##               Jan          Feb          Mar          Apr          May
## 1973           NA           NA           NA           NA           NA
## 1974   1244.43125  -5987.08842  -6644.94317  -9240.61225  -8877.00792
## 1975   5386.46054  -1263.04279  -3774.80125  -8881.94913 -11311.41638
##               Jun          Jul          Aug          Sep          Oct
## 1973           NA   9841.39842  14898.72092  14892.45550   3604.40875
## 1974    -77.18058   9125.58383  15241.64129  10288.53987  -2292.94225
## 1975  -2311.87663   8148.75617  13941.57687  10060.55892  -6412.73892
##               Nov          Dec
## 1973  -4435.71604  -5518.18642
## 1974  -8002.64087  -2999.57629
## 1975  -9583.86033  -1785.75867

3.1.4 Mevsim serisinin ortalamaları

Mevsimsel bileşendeki hata teriminin yok edilebilmesi için her bir periyottaki dönemlerin ortalama değerleri hesaplanır.

donemort3<-t(matrix(data=mevsim3, nrow = 12))
head(donemort3)

##           [,1]      [,2]      [,3]       [,4]       [,5]        [,6]      [,7]
## [1,]        NA        NA        NA         NA         NA          NA  9841.398
## [2,]  1244.431 -5987.088 -6644.943  -9240.612  -8877.008   -77.18058  9125.584
## [3,]  5386.461 -1263.043 -3774.801  -8881.949 -11311.416 -2311.87663  8148.756
## [4,] 10481.996  2802.820 -3880.936  -9695.276 -11061.992 -4935.45200  7910.461
## [5,] 12666.531  4699.200 -5136.574 -14090.190 -13786.849 -3093.95550 12455.279
## [6,] 11804.552  4676.338 -2511.719 -16272.308 -15786.122 -2368.93296 10589.750
##          [,8]      [,9]     [,10]      [,11]     [,12]
## [1,] 14898.72 14892.455  3604.409  -4435.716 -5518.186
## [2,] 15241.64 10288.540 -2292.942  -8002.641 -2999.576
## [3,] 13941.58 10060.559 -6412.739  -9583.860 -1785.759
## [4,] 12553.10  7480.415 -6545.047  -7306.031  4008.703
## [5,] 15675.59  8854.138 -4461.604 -12721.138 -2238.178
## [6,] 14851.83 12373.875 -4417.750 -12814.542 -3622.708

Periyottaki dönemlerin ortalama değerleri:

colMeans(donemort3, na.rm = T)

##  [1]  12293.710  -8992.596 -12270.776 -27486.215 -19556.515   5455.674
##  [7]  33711.582  37332.788  13396.718 -10784.080 -22267.319  -2109.830

Periyottaki dönemlerin ortalama değerlerinin toplamı:

sum(colMeans(donemort3, na.rm = T))

## [1] -1276.859

Bu değerin 0 olması gerekmektedir. 0 olmadığı için ortalamaların ortalaması alınmalıdır. Bu ortalama değer diğer tüm ortalama değerlerden çıkartılır ve mevsimsel endeks serisi bulunur.

Periyottaki dönemlerin ortalama değerlerinin ortalaması:

mean(colMeans(donemort3, na.rm = T))

## [1] -106.4049

3.1.5 Mevsimsel Endeksin Bulunması

endeks1 <- colMeans(donemort3, na.rm = T) - mean(colMeans(donemort3, na.rm = T))

endeks1

##  [1]  12400.115  -8886.191 -12164.371 -27379.810 -19450.110   5562.079
##  [7]  33817.987  37439.193  13503.123 -10677.675 -22160.914  -2003.426

Bu 12 mevsimsel endeks değeri periyottaki dönemlere dikkat edilerek (ilk döneme karşılık M1; ikinci döneme karşılık M2; üçüncü döneme karşılık M3, … , on ikinci döneme karşılık M12 gelecek şekilde) seri boyunca tekrar tekrar yazılabilmesi için aşağıdaki adım gerçekleştirilir.

İndeks Değerlerini Seri Boyunca Yazdırma İşlemi:

indeks<-  matrix(data = endeks1, nrow = 587)
head(indeks)

##            [,1]
## [1,]  12400.115
## [2,]  -8886.191
## [3,] -12164.371
## [4,] -27379.810
## [5,] -19450.110
## [6,]   5562.079

3.1.6 Hata Terimli Trend Bileşeninin Bulunması

trendhata <- veri_ts - indeks

Hata Terimli Trend Bileşeninine ait zaman serisi grafiği:

plot.ts(trendhata)

Elde edilen bu trent serisinde hata terimi de olduğundan seriye ‘’trendhata’’ adı verilir. Bu seriyi hata teriminden arındırabilmek amacıyla trendhata serisine doğrusal regresyon uygulanır.

trend1<-tslm(ts(trendhata)~trend)

• Burada fitted.values değişkeni dikkate alınır.

• fitted.values değişkeni orijinal serinin trend bileşeni olur.

head(trend1[["fitted.values"]],n=24)

## Time Series:
## Start = 1 
## End = 24 
## Frequency = 1 
##  [1] 149853.0 150221.7 150590.3 150959.0 151327.6 151696.3 152064.9 152433.6
##  [9] 152802.2 153170.9 153539.5 153908.1 154276.8 154645.4 155014.1 155382.7
## [17] 155751.4 156120.0 156488.7 156857.3 157226.0 157594.6 157963.2 158331.9

3.1.7 Tahmin ve Hata Serilerinin Bulunması

Tahmin Bileşenlerini Bulalım:

tahmin = mevsimsel endeks + saf trend serisi

tahmin<- indeks+trend1[["fitted.values"]]
tahmin <- ts(data = tahmin, start = c(1973, 01), end = c(2021, 11), frequency = 12 )
plot(tahmin,main = "Tahmin Serisi Grafiği")

Hata Bileşenlerini Bulalım:

hata = saf trend serisi - tahmin

hata <- ts(veri_ts) - ts(tahmin)
plot(hata,main = "Tahmin serisi için Hata Serisi Grafiği")

3.1.8 Modelin Güvenirliği

Toplamsal modelin orijinal seri üzerinde geçerli bir model olup olmadığını kontrol edelim.

Orijinal seri ile tahmin serisinin uyumu:

plot( window(veri_ts), 
      xlab="Zaman", ylab="",lty=1, col=4, lwd=2,main="Orijinal Seri ve Tahmin Serisinin Birlikte Grafiği")
lines( window(tahmin) ,lty=3,col=2,lwd=3)
legend("topleft",c(expression(paste(OrijinalSeri )),
                   expression(paste(Tahmin ))),
       lwd=c(2,2),lty=c(1,3), cex=0.6, col=c(4,2))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Tahmin ile orijinal seri arasında sapmanın yüksek olduğunu dolayısıyla uyum göstermediğini söyleyebiliriz.

• Fakat emin olmak için hataların akgürültü olup olmadığına bakabiliriz.

Acf(hata, lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Hatalar için ACF Grafiği")

Box.test(hata,type = "Ljung",lag = 42)

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  hata
## X-squared = 9137.7, df = 42, p-value < 2.2e-16

3.1.9 SONUÇ

Bir önceki adımda görüldüğü üzere;

• Hatalar Arasında ilişki olduğunu yani hataların akgürültü olmadığını gördük.

• Sonuç olarak ABD’deki aylık elektrik tüketimi serisinin analizi için Toplumsal Ayrıştırma yöntemi uygun değildir.

3.2.1 Trend Bileşeni ve Periyodun Bulunması

Trend Bileşeni:

Serinin Trend Bileşeni Regresyon analizi yardımı ile oluşturulur.

veri_trend2 <- tslm(veri_ts~trend)

• Burada dikkat edilmesi gereken, denkleme orijinal serinin eklenmiş olmasıdır.

• Oluşturulan Regresyon denklemindeki fitted.values değişkeni dikkate alınır.

• fitted.values değişkeni orijinal serinin trend bileşeni olur.

head(veri_trend2[["fitted.values"]],n=36)

##           Jan      Feb      Mar      Apr      May      Jun      Jul      Aug
## 1973 149788.4 150157.2 150526.1 150895.0 151263.9 151632.8 152001.6 152370.5
## 1974 154214.9 154583.8 154952.7 155321.5 155690.4 156059.3 156428.2 156797.0
## 1975 158641.4 159010.3 159379.2 159748.1 160117.0 160485.8 160854.7 161223.6
##           Sep      Oct      Nov      Dec
## 1973 152739.4 153108.3 153477.1 153846.0
## 1974 157165.9 157534.8 157903.7 158272.6
## 1975 161592.5 161961.3 162330.2 162699.1

Periyodun Bulunması:

Orijinal zaman Serisi ve trend bileşeninin farkını alarak periyodu bulabiliriz.

periyot_trend2 <- veri_ts - veri_trend2[["fitted.values"]]

Serinin periyoduna sahip mevsimsel bileşen serisinin ACF değerleri ile periyodu bulalım:

Acf(periyot_trend2,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,plot=FALSE)

## 
## Autocorrelations of series 'periyot_trend2', by lag
## 
##      0      1      2      3      4      5      6      7      8      9     10 
##  1.000  0.720  0.265 -0.021  0.043  0.320  0.455  0.318  0.040 -0.025  0.246 
##     11     12     13     14     15     16     17     18     19     20     21 
##  0.673  0.916  0.653  0.218 -0.057  0.012  0.287  0.416  0.281  0.009 -0.057 
##     22     23     24     25     26     27     28     29     30     31     32 
##  0.204  0.622  0.853  0.602  0.185 -0.078 -0.006  0.260  0.387  0.257 -0.015 
##     33     34     35     36     37     38     39     40     41     42 
## -0.079  0.177  0.587  0.814  0.567  0.158 -0.097 -0.029  0.230  0.354

ACF değerlerine bakıldığında:

• En büyük değerin 12. gecikme (0.916), en büyük ikinci gecikmenin ise 24. gecikme (0.853) olduğu gözükmektedir.

• 12 ve 24 gecikme arasında toplam 12 değer olduğu için; birinci farkı alınmış serinin periyodunun 12 olduğunu söyleyebiliriz.

Buradaki başlıkta periyot bulma işlemini yapmış ve aynı sonuca ulaşmıştık.

Mevsimsel, döngüsel veya düzensiz dalgalanmaları yok etme ya da belli bir miktar düzleştirme amacıyla basit hareketli ortalama ya da merkezsel hareketli ortalama işlemlerine ihtiyaç duyulmaktadır.

Ayrıştırma Yönteminde merkezsel hareketli ortalamayı mevsimsel bileşeni bulmak için kullanacağız

3.2.2 Merkezsel Hareketli Ortalama Hesabı

veri_trend_2 <- ma(veri_ts, order = 12, centre = TRUE)

Burada order = germe sayısı, bir önceki adımda bulduğumuz periyot ile aynı olmalıdır.

3.2.3 Mevsimsel Bileşenin Bulunması

Mevsimsel bileşene ulaşmak için yukarıda hesapladığımız merkezsel hareketli ortalama serisini, orijinal seriden bölmemiz gerekiyor.

mevsim4 <- veri_ts / veri_trend_2
head(mevsim4,n=36)

##            Jan       Feb       Mar       Apr       May       Jun       Jul
## 1973        NA        NA        NA        NA        NA        NA 1.0689556
## 1974 1.0087181 0.9580513 0.9534005 0.9350386 0.9374657 0.9994565 1.0640906
## 1975 1.0374040 0.9912432 0.9738812 0.9386246 0.9219252 0.9840898 1.0557923
##            Aug       Sep       Oct       Nov       Dec
## 1973 1.1044922 1.1045693 1.0253052 0.9688891 0.9613348
## 1974 1.1066813 1.0717819 0.9840378 0.9443436 0.9791481
## 1975 1.0948663 1.0681237 0.9567380 0.9356111 0.9880502

3.2.4 Mevsim serisinin ortalamaları

Mevsimsel bileşendeki hata teriminin yok edilebilmesi için her bir periyottaki dönemlerin ortalama değerleri hesaplanır.

donemort4<-t(matrix(data=mevsim4, nrow = 12))
head(donemort4)

##          [,1]      [,2]      [,3]      [,4]      [,5]      [,6]     [,7]
## [1,]       NA        NA        NA        NA        NA        NA 1.068956
## [2,] 1.008718 0.9580513 0.9534005 0.9350386 0.9374657 0.9994565 1.064091
## [3,] 1.037404 0.9912432 0.9738812 0.9386246 0.9219252 0.9840898 1.055792
## [4,] 1.069853 1.0185930 0.9743572 0.9362177 0.9276360 0.9679462 1.051004
## [5,] 1.079322 1.0292605 0.9681632 0.9130324 0.9150998 0.9809471 1.076628
## [6,] 1.071610 1.0282985 0.9848617 0.9023607 0.9056363 0.9858898 1.062838
##          [,8]     [,9]     [,10]     [,11]     [,12]
## [1,] 1.104492 1.104569 1.0253052 0.9688891 0.9613348
## [2,] 1.106681 1.071782 0.9840378 0.9443436 0.9791481
## [3,] 1.094866 1.068124 0.9567380 0.9356111 0.9880502
## [4,] 1.080428 1.047667 0.9584520 0.9537730 1.0252505
## [5,] 1.096220 1.054184 0.9727635 0.9224478 0.9863869
## [6,] 1.087688 1.072675 0.9741863 0.9254711 0.9789783

Periyottaki dönemlerin ortalama değerleri:

colMeans(donemort4, na.rm = T)

##  [1] 1.0497120 0.9724287 0.9561884 0.8991415 0.9234883 1.0151612 1.1214735
##  [8] 1.1383244 1.0533474 0.9596636 0.9170578 0.9916020

Periyottaki dönemlerin ortalama değerlerinin toplamı:

sum(colMeans(donemort4, na.rm = T))

## [1] 11.99759

Bu değerin 0 olması gerekmektedir. 0 olmadığı için ortalamaların ortalaması alınmalıdır. Bu ortalama değer diğer tüm ortalama değerlere bölünür ve mevsimsel endeks serisi bulunur.

Periyottaki dönemlerin ortalama değerlerinin ortalaması:

mean(colMeans(donemort4, na.rm = T))

## [1] 0.9997991

3.2.5 Mevsimsel Endeksin Bulunması

endeks2 <- colMeans(donemort4, na.rm = T) / mean(colMeans(donemort4, na.rm = T))

endeks2

##  [1] 1.0499230 0.9726242 0.9563805 0.8993222 0.9236739 1.0153652 1.1216988
##  [8] 1.1385531 1.0535591 0.9598564 0.9172421 0.9918013

Bu 12 mevsimsel endeks değeri periyottaki dönemlere dikkat edilerek (ilk döneme karşılık M1; ikinci döneme karşılık M2; üçüncü döneme karşılık M3, … , on ikinci döneme karşılık M12 gelecek şekilde) seri boyunca tekrar tekrar yazılabilmesi için aşağıdaki adım gerçekleştirilir.

Mevsimsel Endeksin ortalaması: >> Mevsimsel endekin ortalaması yani Dönem ortalamalarının ortalaması 1’e eşit olmalıdır.

mean(endeks2)

## [1] 1

• Dönem ortalamalarının ortalaması 1’e eşittir. Bu hata yapmadığımızı gösterir.

İndeks Değerlerini Seri Boyunca Yazdırma İşlemi:

indeks2<-  matrix(data = endeks2, nrow = 587)
head(indeks2)

##           [,1]
## [1,] 1.0499230
## [2,] 0.9726242
## [3,] 0.9563805
## [4,] 0.8993222
## [5,] 0.9236739
## [6,] 1.0153652

3.2.6 Hata Terimli Trend Bileşeninin Bulunması

trendhata2 <- veri_ts / indeks2

Hata Terimli Trend Bileşeninine ait zaman serisi grafiği:

plot.ts(trendhata2)

>>Elde edilen bu trent serisinde hata terimi de olduğundan seriye ‘’trendhata2’’ adı verilir. Bu seriyi hata teriminden arındırabilmek amacıyla trendhata serisine doğrusal regresyon uygulanır.

trend2<-tslm(ts(trendhata2)~trend)

• Burada fitted.values değişkeni dikkate alınır.

• fitted.values değişkeni orijinal serinin trend bileşeni olur.

head(trend2[["fitted.values"]],n=24)

## Time Series:
## Start = 1 
## End = 24 
## Frequency = 1 
##  [1] 150201.9 150569.1 150936.3 151303.5 151670.7 152037.9 152405.1 152772.3
##  [9] 153139.5 153506.7 153873.9 154241.1 154608.2 154975.4 155342.6 155709.8
## [17] 156077.0 156444.2 156811.4 157178.6 157545.8 157913.0 158280.2 158647.3

3.2.7 Tahmin ve Hata Serilerinin Bulunması

Tahmin Bileşenlerini Bulalım:

tahmin = mevsimsel endeks + saf trend serisi

tahmin2<- indeks2*trend2[["fitted.values"]]
tahmin2 <- ts(data = tahmin2, start = c(1973, 01), end = c(2021, 11), frequency = 12 )
plot(tahmin2,main = "Tahmin Serisi Grafiği")

Hata Bileşenlerini Bulalım:

hata = saf trend serisi - tahmin

hata2 <- ts(veri_ts) - ts(tahmin2)
plot(hata2,main = "Tahmin serisi için Hata Serisi Grafiği")

3.2.8 Modelin Güvenirliği

Çarpımsal modelin orijinal seri üzerinde geçerli bir model olup olmadığını kontrol edelim.

Orijinal seri ile tahmin serisinin uyumu:

plot( window(veri_ts), 
      xlab="Zaman", ylab="",lty=1, col=4, lwd=2,main="Orijinal Seri ve Tahmin Serisinin Birlikte Grafiği")
lines( window(tahmin2) ,lty=3,col=2,lwd=3)
legend("topleft",c(expression(paste(OrijinalSeri )),
                   expression(paste(Tahmin ))),
       lwd=c(2,2),lty=c(1,3), cex=0.6, col=c(4,2))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Tahmin ile orijinal seri arasında sapmanın yüksek olduğunu dolayısıyla uyum göstermediğini söyleyebiliriz.

• Fakat emin olmak için hataların akgürültü olup olmadığına bakabiliriz.

Acf(hata2, lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Hatalar için ACF Grafiği")

Box.test(hata2,type = "Ljung",lag = 42)

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  hata2
## X-squared = 12215, df = 42, p-value < 2.2e-16

3.2.9 SONUÇ

Bir önceki adımda görüldüğü üzere;

• Hatalar Arasında ilişki olduğunu yani hataların akgürültü olmadığını gördük.

• Sonuç olarak ABD’deki aylık elektrik tüketimi serisinin analizi için Çarpımsal Ayrıştırma yöntemi uygun değildir.

! BİLGİ !

Eğer bir seride hem trent hem de mevsimsellik var ise bu seriye uygulanacak regresyon modeli

biçiminde olmaktadır.

m: serinin trendinin yapısına göre polinom derecesidir.
- m=l doğrusal trende sahip seri içindir.
- m=2 karesel regresyona modeline uygun trende sahip seri içindir.
- m=3 kübik regresyon modeline uygun trende sahip seri içindir.

Formüldeki ilk ∑ ifadesi: serinin trend bileşenini açıklar.

s:periyot olmak üzere [s /2] periyodun yarısının tamsayı kısmını gösterir. Örneğin, periyot 9 ise [s /2], 4 olmaktadır.

Burada j indisli toplam, yani köşeli parantez içindeki sinüs ve kosinüs fonksiyonları serinin mevsimsel bileşenini açıklamaktadır. Her regresyon modelinde olduğu gibi bu regresyon denkleminde de tüm katsayıların istatistiksel olarak önemli olması gerekmektedir.

Sinüs ve kosinüs çiftine harmonik adı verilmektedir. Böylece, j=l için birinci harmonik, j=2 için ikinci harmonik şeklinde j= [s /2] oluncaya kadar regresyon denklemine harmonik eklenir. Ancak her ekleme sonucunda ci ve di regresyon katsayılarının önemlilik kontrolü yapılır.

Bu regresyon katsayılarından biri önemsiz olduğunda harmonik ekleme işlemine son verilir ve önemsiz olan regresyon katsayısına ait terim modelden atılarak serinin tahmininde katsayılarının hepsi önemli olan regresyon modeli kullanılır.

Uygulama verilerinde genellikle sadece birinci harmonikler seriyi açıklamada yeterli olmaktadır. Dolayısıyla, genellikle ikinci harmonikler regresyon modeline eklenmemektedir. Ayrıca, j= [s/2] için periyot çift sayı iken sinüs fonksiyonu, yani sin(nt) hep 0 değerini alacağından ilgili harmonikte sinüs serisinin oluşturulmamasına ve regresyon modeline eklenmemesine dikkat edilmelidir.

Kaynak: Prof. Dr. Cem Kadılar, Dr. Hatice Öncel Çekim SPSS ve R Uygulamalı Zaman Serileri Analizine Giriş

4.1.1 t, Sin ve Cos Terimlerinin oluşturulması

Serimiz, hem trende hem de mevsimsel dalgalanmaya sahip olduğundan regresyon modelinin; t, sinüs ve kosinüs terimlerini içermesi gerekmektedir.

t <- 1: 1: 587

Veride 144 gözlem bulunduğu için bu değerler girilmiştir.

sin1<-sin(2*3.1416*t/12)
cos1<-cos(2*3.1416*t/12)

Sin ve Cos değerleri bulunurken yazılan formüldeki 12 değeri, daha önceki bölümlerde bulduğumuz periyottur.

veri, t, sin ve cos terimleri ile yeni bir veri oluşturulur:

veri_mev_yeni <- as.data.frame(cbind(veri_ts, t, sin1, cos1))
names(veri_mev_yeni)<- c("y", "t", "sin1", "cos1")

knitr::kable(head(veri_mev_yeni), align = "c")

4.1.2 Regresyon Modelinin Oluşturulması

regresyon.model1<-lm(data = veri_mev_yeni, y ~ t+sin1+cos1)
summary(regresyon.model1)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + sin1 + cos1, data = veri_mev_yeni)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -76521 -16912  -2573  17977  67127 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149688.507   2123.682  70.485  < 2e-16 ***
## t              367.920      6.259  58.787  < 2e-16 ***
## sin1        -14720.908   1498.521  -9.824  < 2e-16 ***
## cos1         -7451.091   1500.895  -4.964 9.06e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 25690 on 583 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8605, Adjusted R-squared:  0.8598 
## F-statistic:  1199 on 3 and 583 DF,  p-value: < 2.2e-16

sin2<-sin(2*3.1416*2*t/12)
cos2<-cos(2*3.1416*2*t/12)

veri_mev_yeni2 <- as.data.frame(cbind(veri_ts, t, sin1, cos1, sin2, cos2))

names(veri_mev_yeni2)<- c("y", "t", "sin1", "cos1", "sin2", "cos2")

knitr::kable(head(veri_mev_yeni2), align = "c")

regresyon.model2<-lm(data= veri_mev_yeni2, y ~ t+sin1+cos1+sin2+cos2)
summary(regresyon.model2)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + sin1 + cos1 + sin2 + cos2, data = veri_mev_yeni2)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -60416 -12872   -180  15512  48319 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149491.070   1663.554  89.862  < 2e-16 ***
## t              368.601      4.903  75.186  < 2e-16 ***
## sin1        -14718.377   1173.821 -12.539  < 2e-16 ***
## cos1         -7445.983   1175.687  -6.333 4.81e-10 ***
## sin2         22502.242   1173.708  19.172  < 2e-16 ***
## cos2          1480.181   1175.687   1.259    0.209    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 20120 on 581 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9147, Adjusted R-squared:  0.914 
## F-statistic:  1246 on 5 and 581 DF,  p-value: < 2.2e-16

regresyon.model3<-lm(data= veri_mev_yeni2, y ~ t+sin1+cos1+sin2)
summary(regresyon.model3)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + sin1 + cos1 + sin2, data = veri_mev_yeni2)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -61153 -12957     35  15170  47578 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149488.533   1664.389  89.816  < 2e-16 ***
## t              368.601      4.905  75.148  < 2e-16 ***
## sin1        -14718.379   1174.411 -12.533  < 2e-16 ***
## cos1         -7451.037   1176.271  -6.334 4.77e-10 ***
## sin2         22502.238   1174.298  19.162  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 20130 on 582 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9145, Adjusted R-squared:  0.9139 
## F-statistic:  1555 on 4 and 582 DF,  p-value: < 2.2e-16

library(fpp)
dwtest(data= veri_mev_yeni2, y ~ t+sin1+cos1+sin2)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  y ~ t + sin1 + cos1 + sin2
## DW = 0.3644, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

4.1.3 Kurulan Model İçin Tahmin, Hata ve Tahminin Sınır Serileri

Zt = 149488.533 + 368.601t - 14718.379sin(2πt/12) - 7451.037cos(2πt/12) + 22502.238sin(4πt/12) + εi modeli için:

tahmin_model3<-predict(regresyon.model3)
plot.ts(tahmin_model3)

sinir_model3<-predict(regresyon.model3, interval = 'confidence' ,level = .95)
plot.ts(sinir_model3)

hata_model3<-resid(regresyon.model3)
plot.ts(hata_model3)

plot( window(veri_mev_yeni2$y),
      xlab="", ylab="", type="l", lty=3, col=2, lwd=2)
lines(window(sinir_model3[,2]) ,type="l",lty=1,col=4,lwd=2)
lines(window(sinir_model3[,3]) ,type="l",lty=1,col=3,lwd=2)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektri_Tüketimi)),
                   expression(paste(Altsinir)),
                   expression(paste(Üstsinir))),
       lwd=c(2,2,3),lty=c(3,1,2), cex=0.7, col=c(2,4,3))

4.1.4 Modelin Güvenirliği

Toplamsal Regresyon modelinin orijinal seri üzerinde geçerli bir model olup olmadığını kontrol edelim.

Orijinal seri ile tahmin serisinin uyumu:

plot( window(veri_mev_yeni2$y), 
      xlab="Zaman", ylab="",type="l",lty=1, col=4, lwd=2)
lines( window(tahmin_model3),lty=3,col=2,lwd=3)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektrik_tüketimi)),
                   expression(paste(Tahmin))),
       lwd=c(2,2),lty=c(1,3), cex=0.6, col=c(4,2))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Tahmin ile orijinal seri arasında sapmanın yüksek olduğunu dolayısıyla uyum göstermediğini söyleyebiliriz.

• Fakat emin olmak için hataların akgürültü olup olmadığına bakabiliriz.

Acf(hata_model3, lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Hatalar için ACF Grafiği")

Box.test(hata_model3,type = "Ljung",lag = 42)

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  hata_model3
## X-squared = 8221.9, df = 42, p-value < 2.2e-16

4.1.5 SONUÇ

Bir önceki adımda görüldüğü üzere;

• Hatalar Arasında ilişki olduğunu yani hataların akgürültü olmadığını gördük.

• Sonuç olarak ABD’deki aylık elektrik tüketimi serisinin Regresyon analizi için kullanılan Toplamsal Regresyon denklemi uygun değildir.

! BİLGİ !

Bu modelde serideki dalgalanma büyüklükleri düzenli bir şekilde artmaktadır. Bu model regresyon analizine uygulandığında trende ve mevsimsel dalgalanmaya sahip bir serinin analizi için uygun olan bir regresyon denklemi:

biçiminde olmaktadır.

Burada i indisli toplam serinin trendini, i ve j indisli iki toplam ise mevsimselligin çarpımsal biçimde oldugunu göstermektedir.

Bu denklemde bağımsız degiskenin t serisi ile sinüs fonksiyonu serisini çarpımı, t serisi ile kosinüs fonksiyonu serisinin çarpımı t serisi olduguna dikkat edilmelidir.

Kaynak: Prof. Dr. Cem Kadılar, Dr. Hatice Öncel Çekim SPSS ve R Uygulamalı Zaman Serileri Analizine Giriş

4.2.1 t, Sin ve Cos Terimlerinin oluşturulması

Serimiz, hem trende hem de mevsimsel dalgalanmaya sahip olduğundan regresyon modelinin; t, sinüs ve kosinüs terimlerini içermesi gerekmektedir.

t <- 1: 1: 587

Veride 144 gözlem bulunduğu için bu değerler girilmiştir.

s1<-t*sin(2*3.1416*t/12)
c1<-t*cos(2*3.1416*t/12)

Sin ve Cos değerleri bulunurken yazılan formüldeki 12 değeri, daha önceki bölümlerde bulduğumuz periyottur.

veri, t, sin ve cos terimleri ile yeni bir veri oluşturulur:

veri_mevC_yeni <- as.data.frame(cbind(veri_ts, t, s1, c1))
names(veri_mevC_yeni)<- c("y", "t", "s1", "c1")

knitr::kable(head(veri_mevC_yeni), align = "c")

4.2.2 Regresyon Modelinin Oluşturulması

regresyon.modelC1<-lm(data = veri_mevC_yeni, y ~ t+s1+c1)
summary(regresyon.modelC1)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + s1 + c1, data = veri_mevC_yeni)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -73643 -16474  -2108  16541  67571 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149621.728   2066.679  72.397  < 2e-16 ***
## t              367.845      6.091  60.394  < 2e-16 ***
## s1             -46.962      4.296 -10.931  < 2e-16 ***
## c1             -27.767      4.306  -6.448 2.38e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 25000 on 583 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8679, Adjusted R-squared:  0.8672 
## F-statistic:  1276 on 3 and 583 DF,  p-value: < 2.2e-16

s2<-t*sin(2*3.1416*2*t/12)
c2<-t*cos(2*3.1416*2*t/12)

veri_mevC_yeni2 <- as.data.frame(cbind(veri_ts, t, s1, c1, s2, c2))

names(veri_mevC_yeni2)<- c("y", "t", "s1", "c1", "s2", "c2")

knitr::kable(head(veri_mevC_yeni2), align = "c")

regresyon.modelC2<-lm(data= veri_mevC_yeni2, y ~ t+s1+c1+s2+c2)
summary(regresyon.modelC2)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + s1 + c1 + s2 + c2, data = veri_mevC_yeni2)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -58872 -13619   -946  14783  45690 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149492.533   1536.901  97.269  < 2e-16 ***
## t              368.503      4.529  81.356  < 2e-16 ***
## s1             -47.011      3.195 -14.715  < 2e-16 ***
## c1             -26.885      3.203  -8.394 3.58e-16 ***
## s2              69.020      3.195  21.605  < 2e-16 ***
## c2               8.234      3.203   2.571   0.0104 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 18590 on 581 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9272, Adjusted R-squared:  0.9266 
## F-statistic:  1479 on 5 and 581 DF,  p-value: < 2.2e-16

s3<-t*sin(2*3.1416*3*t/12)
c3<-t*cos(2*3.1416*3*t/12)

veri_mevC_yeni3 <- as.data.frame(cbind(veri_ts, t, s1, c1, s2, c2,s3,c3))

names(veri_mevC_yeni3)<- c("y", "t", "s1", "c1", "s2", "c2","s3", "c3")

knitr::kable(head(veri_mevC_yeni3), align = "c")

regresyon.modelC3<-lm(data= veri_mevC_yeni3, y ~ t+s1+c1+s2+c2+s3+c3)
summary(regresyon.modelC3)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + s1 + c1 + s2 + c2 + s3 + c3, data = veri_mevC_yeni3)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -52489 -13350   -588  14875  44894 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149478.431   1520.254  98.325  < 2e-16 ***
## t              368.575      4.480  82.263  < 2e-16 ***
## s1             -47.045      3.160 -14.887  < 2e-16 ***
## c1             -26.811      3.168  -8.463  < 2e-16 ***
## s2              68.916      3.160  21.808  < 2e-16 ***
## c2               8.319      3.168   2.626 0.008869 ** 
## s3               2.350      3.160   0.744 0.457328    
## c3              11.957      3.168   3.774 0.000177 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 18390 on 579 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.929,  Adjusted R-squared:  0.9281 
## F-statistic:  1082 on 7 and 579 DF,  p-value: < 2.2e-16

regresyon.modelC4<-lm(data= veri_mevC_yeni3, y ~ t+s1+c1+s2+c2+c3)
summary(regresyon.modelC4)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + s1 + c1 + s2 + c2 + c3, data = veri_mevC_yeni3)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -52490 -13334   -518  14688  45695 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149480.840   1519.665  98.364  < 2e-16 ***
## t              368.563      4.479  82.292  < 2e-16 ***
## s1             -47.045      3.159 -14.893  < 2e-16 ***
## c1             -26.825      3.167  -8.471  < 2e-16 ***
## s2              68.915      3.159  21.816  < 2e-16 ***
## c2               8.295      3.167   2.619 0.009038 ** 
## c3              11.957      3.167   3.776 0.000176 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 18380 on 580 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9289, Adjusted R-squared:  0.9282 
## F-statistic:  1263 on 6 and 580 DF,  p-value: < 2.2e-16

library(fpp)

dwtest(data= veri_mevC_yeni3, y ~ t+s1+c1+s2+c2+c3)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  y ~ t + s1 + c1 + s2 + c2 + c3
## DW = 0.2914, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

4.2.3 Kurulan Model İçin Tahmin, Hata ve Tahminin Sınır Serileri

Zt = 149480.840 + 368.563t - 47.045sin(2πt/12) - 26.825cos(2πt/12) + 68.915sin(4πt/12) + 8.295cos(4πt/12) + 11.957cos(6πt/12) + εi modeli için:

tahmin_modelC4<-predict(regresyon.modelC4)
plot.ts(tahmin_modelC4)

sinir_modelC4<-predict(regresyon.modelC4, interval = 'confidence' ,level = .95)
plot.ts(sinir_modelC4)

hata_modelC4<-resid(regresyon.modelC4)
plot.ts(hata_modelC4)

plot( window(veri_mevC_yeni3$y),
      xlab="", ylab="", type="l", lty=3, col=2, lwd=2)
lines(window(sinir_modelC4[,2]) ,type="l",lty=1,col=4,lwd=2)
lines(window(sinir_modelC4[,3]) ,type="l",lty=1,col=3,lwd=2)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektri_Tüketimi)),
                   expression(paste(Altsinir)),
                   expression(paste(Üstsinir))),
       lwd=c(2,2,3),lty=c(3,1,2), cex=0.7, col=c(2,4,3))

4.2.4 Modelin Güvenirliği

Çarpımsal Regresyon modelinin orijinal seri üzerinde geçerli bir model olup olmadığını kontrol edelim.

Orijinal seri ile tahmin serisinin uyumu:

plot( window(veri_mevC_yeni3$y), 
      xlab="Zaman", ylab="",type="l",lty=1, col=4, lwd=2)
lines( window(tahmin_modelC4),lty=3,col=2,lwd=3)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektrik_tüketimi)),
                   expression(paste(Tahmin))),
       lwd=c(2,2),lty=c(1,3), cex=0.6, col=c(4,2))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Tahmin ile orijinal seri arasında sapmanın yüksek olduğunu dolayısıyla uyum göstermediğini söyleyebiliriz.

• Fakat emin olmak için hataların akgürültü olup olmadığına bakabiliriz.

Acf(hata_modelC4, lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Hatalar için ACF Grafiği")

Box.test(hata_modelC4,type = "Ljung",lag = 42)

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  hata_modelC4
## X-squared = 11835, df = 42, p-value < 2.2e-16

4.2.5 SONUÇ

Bir önceki adımda görüldüğü üzere;

• Hatalar Arasında ilişki olduğunu yani hataların akgürültü olmadığını gördük.

• Sonuç olarak ABD’deki aylık elektrik tüketimi serisinin Regresyon analizi için kullanılan Çarpımsal Regresyon denklemi uygun değildir.

5.1.1 α, β ve γ’nın Belirlenmesi:

Kurulan model toplamsal model olacağı için fonksiyon içindeki model değişkeni “AAA” olmalıdır.

Winters1<- forecast::ets(veri_ts, model = "AAA")
summary(Winters1)

## ETS(A,A,A) 
## 
## Call:
##  forecast::ets(y = veri_ts, model = "AAA") 
## 
##   Smoothing parameters:
##     alpha = 0.35 
##     beta  = 0.0015 
##     gamma = 0.376 
## 
##   Initial states:
##     l = 142359.4408 
##     b = 650.5006 
##     s = -2003.421 -21271.04 -10677.56 13503.16 37439.09 33817.96
##            5562.078 -19450.16 -23820.27 -12164.33 -8641.028 7705.514
## 
##   sigma:  7062.892
## 
##      AIC     AICc      BIC 
## 14164.62 14165.70 14239.00 
## 
## Training set error measures:
##                     ME     RMSE      MAE        MPE     MAPE      MASE
## Training set -443.1612 6965.969 5416.702 -0.2365098 2.209926 0.6997371
##                   ACF1
## Training set 0.3491801

Model çıktısına bakıldığında:

• l = 142359.4408 -> ortalama düzeyin başlangıç değeridir.

• b = 650.5006 -> eğimin başlangıç değeridir.

• s değerine bakıldığında ise 12 farklı değer (periyot sayımız 12 olduğu için) vardır. Bu değerler mevsimsel terimin başlangıç değerleridir. Başlangıç değerleri kullanılarak Optimal düzleştirme katsayıları,

  • α = 0.35
  • β = 0.0015
  • γ = 0.376 olarak elde edilmiştir.

5.1.2 Tahmin, ACF ve Dağılım Grafikleri:

library(forecast)
checkresiduals(Winters1, lag = 42)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ETS(A,A,A)
## Q* = 225.17, df = 26, p-value < 2.2e-16
## 
## Model df: 16.   Total lags used: 42

5.1.3 Tahmin ve Hata Serilerinin Bulunması:

α, β ve γ düzleştirme katsayıları kullanılarak serinin tahmin değerleri aşağıdaki gibi bulunabilir.

tahmin_win1<- Winters1[["fitted"]]

Tahmin edilen ilk 12 değeri (2022 yılı ABD elektrik tüketim tahminlerini) görelim:

ongoru1 <- forecast(Winters1,h=12)
knitr::kable(ongoru1[["mean"]],col.names = "2022 yılı ABD elektrik tüketimi - Toplamsal Winters Tahminleri", align = "c")

Tahmin ve Orijinal serileri birlikte çizdirelim:

plot( window(veri_ts), 
      xlab="Zaman", ylab="",lty=1, col=4, lwd=2)
lines( window(tahmin_win1) ,lty=3,col=2,lwd=3)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektrik_Tuketimi)),
               expression(paste(Top.Winters_Tahmini))),
       lwd=c(2,2),lty=c(1,3), cex=0.7, col=c(4,2))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Tahmin ile orijinal seri arasında uyum olduğu görülmektedir. Yani görsel olarak Toplamsal Winters yöntemi ile yapılan tahminlerin gerçeğe yakın olduğunu söyleyebiliriz.

• Fakat emin olmak için hataların akgürültü olup olmadığına bakmamız gerekmektedir.

Hata Serisi:

α, β ve γ düzleştirme katsayıları kullanılarak serinin hata değerleri aşağıdaki gibi bulunabilir.

hata_win1<- Winters1[["residuals"]]
plot.ts(hata_win1)

Hatalar Akgürültü mü?

Ho: Hatalar Akgürültüdür.(Hatalar arasında ilişki yoktur.)
H1: Hatalar Akgürültü değildir.(Hatalar arasında ilişki vardır.)

Hatalar için ACF Grafiği:

Acf(hata_win1, lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Hatalar için ACF Grafiği")

Hatalar için ACF Grafiğine bakıldığında:

• İlk dört gecikmeden üç tanesinin sınırları geçtiği, birinin sınırlar içinde kaldığı görülmektedir.

• Hataların akgürültü olduğunu söyleyebiliriz. Yani Hatalar arasında ilişki yoktur. Kurulan model tahmin etmede kullanılabilir.

Toplamsal Winter Yöntemi ile elektrik Tüketim Öngörüsü Grafiği:

plot(forecast(Winters1,h=120),main = "Toplamsal Winter Yönteminin İlerleyen Yıllar İçin Tahminleri")

5.1.4 SONUÇ

Bir önceki adımda görüldüğü üzere;

• Hatalar Arasında ilişki olmadığını yani hataların akgürültü olduğunu gördük.

• Sonuç olarak ABD’deki aylık elektrik tüketimi serisinin Regresyon analizi için kullanılan Toplamsal Winters Üstel Düzleştirme Yöntemi uygundur.

5.2.1 α, β ve γ’nın Belirlenmesi:

Kurulan model çarpımsal model olacağı için fonksiyon içindeki model değişkeni “MAM” olmalıdır.

Winters2<- forecast::ets(veri_ts, model = "MAM")
summary(Winters2)

## ETS(M,A,M) 
## 
## Call:
##  forecast::ets(y = veri_ts, model = "MAM") 
## 
##   Smoothing parameters:
##     alpha = 0.3292 
##     beta  = 9e-04 
##     gamma = 0.2528 
## 
##   Initial states:
##     l = 141713.6213 
##     b = 564.3679 
##     s = 0.991 0.958 0.9931 1.0717 1.0836 1.0489
##            0.9816 0.9136 0.9304 0.9685 0.9911 1.0685
## 
##   sigma:  0.0231
## 
##      AIC     AICc      BIC 
## 13919.11 13920.19 13993.49 
## 
## Training set error measures:
##                     ME     RMSE      MAE        MPE     MAPE      MASE
## Training set -378.7723 6176.062 4754.346 -0.2122225 1.822243 0.6141731
##                   ACF1
## Training set 0.3226722

Model çıktısına bakıldığında:

• l = 141713.6213 -> ortalama düzeyin başlangıç değeridir.

• b = 564.3679 -> eğimin başlangıç değeridir.

• s değerine bakıldığında ise 12 farklı değer (periyot sayımız 12 olduğu için) vardır. Bu değerler mevsimsel terimin başlangıç değerleridir. Başlangıç değerleri kullanılarak Optimal düzleştirme katsayıları,

  • α = 0.3292
  • β = 0
  • γ = 0.2528 olarak elde edilmiştir.

5.2.2 Tahmin, ACF ve Dağılım Grafikleri:

library(forecast)
checkresiduals(Winters2, lag = 42)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ETS(M,A,M)
## Q* = 169.05, df = 26, p-value < 2.2e-16
## 
## Model df: 16.   Total lags used: 42

5.2.3 Tahmin ve Hata Serilerinin Bulunması:

α, β ve γ düzleştirme katsayıları kullanılarak serinin tahmin değerleri aşağıdaki gibi bulunabilir.

tahmin_win2<- Winters2[["fitted"]]

Tahmin edilen ilk 12 değeri (2022 yılı ABD elektrik tüketim tahminlerini) görelim:

ongoru2 <- forecast(Winters2,h=12)
knitr::kable(ongoru2[["mean"]],col.names = "2022 yılı ABD elektrik tüketimi - Çarpımsal Winters Tahminleri", align = "c")

Tahmin ve Orijinal serileri birlikte çizdirelim:

plot( window(veri_ts), 
      xlab="Zaman", ylab="",lty=1, col=4, lwd=2)
lines( window(tahmin_win2) ,lty=3,col=2,lwd=3)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektrik_Tuketimi)),
               expression(paste(Çar.Winters_Tahmini))),
       lwd=c(2,2),lty=c(1,3), cex=0.7, col=c(4,2))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Tahmin ile orijinal seri arasında uyum olduğu görülmektedir. Yani görsel olarak Çarpımsal Winters yöntemi ile yapılan tahminlerin gerçeğe yakın olduğunu söyleyebiliriz.

• Fakat emin olmak için hataların akgürültü olup olmadığına bakmamız gerekmektedir.

Hata Serisi:

α, β ve γ düzleştirme katsayıları kullanılarak serinin hata değerleri aşağıdaki gibi bulunabilir.

hata_win2<- Winters2[["residuals"]]
plot.ts(hata_win2)

Hatalar Akgürültü mü?

Ho: Hatalar Akgürültüdür.(Hatalar arasında ilişki yoktur.)
H1: Hatalar Akgürültü değildir.(Hatalar arasında ilişki vardır.)

Hatalar için ACF Grafiği:

Acf(hata_win2, lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Hatalar için ACF Grafiği")

Hatalar için ACF Grafiğine bakıldığında:

• İlk dört gecikmeden üç tanesinin sınırları geçtiği, birinin sınırlar içinde kaldığı görülmektedir.

• Hataların akgürültü olduğunu söyleyebiliriz. Yani Hatalar arasında ilişki yoktur. Kurulan model tahmin etmede kullanılabilir.

Çarpımsal Winter Yöntemi ile elektrik Tüketim Öngörüsü Grafiği:

plot(forecast(Winters2,h=120),main = "Çarpımsal Winter Yönteminin İlerleyen Yıllar İçin Tahminleri")

5.2.4 SONUÇ

Bir önceki adımda görüldüğü üzere;

• Hatalar Arasında ilişki olmadığını yani hataların akgürültü olduğunu gördük.

• Sonuç olarak ABD’deki aylık elektrik tüketimi serisinin Regresyon analizi için kullanılan Çarpımsal Winters Üstel Düzleştirme Yöntemi uygundur.

Tahmin:

tahmin21<- en_iyi_model[["fitted"]]

Hata:

hata21<- en_iyi_model[["residuals"]]

Tahmin ve Orijinal Serinin Birlikte Çizilmesi:

plot( window(veri_ts), 
      xlab="Zaman (Yıl)", ylab="",lty=1, col=4, lwd=2)
lines( window(tahmin21) ,lty=3,col=2,lwd=3)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektrik_Tüketimi)),
               expression(paste("ARIMA(2,1,1)(0,1,1)[12]"))),
       lwd=c(2,2),lty=c(1,3), cex=0.7, col=c(4,2))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Tahmin ile orijinal seri arasında uyum olduğu görülmektedir. Yani görsel olarak Box-Jenkins yöntemi ile kurulan modelin tahminlerinin gerçeğe yakın olduğunu söyleyebiliriz.

• Fakat emin olmak için hataların akgürültü olup olmadığına bakmamız gerekmektedir.

Hatalar Akgürültü mü?

Ho: Hatalar Akgürültüdür.(Hatalar arasında ilişki yoktur.)
H1: Hatalar Akgürültü değildir.(Hatalar arasında ilişki vardır.)

Hatalar için ACF Grafiği:

Acf(hata21, lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Hatalar için ACF Grafiği")

Hatalar için ACF Grafiğine bakıldığında:

• İlk dört gecikmenin de sınırlar içinde kaldığı görülmektedir.

• Hataların akgürültü olduğunu söyleyebiliriz. Yani Hatalar arasında ilişki yoktur. Kurulan model tahmin etmede kullanılabilir.

ARIMA Modeli ile 2022 yılının elektrik Tüketim Öngörüsü:

ongoru21<- forecast(en_iyi_model, h=12)
knitr::kable(ongoru21[["mean"]],col.names = "ARIMA(2,1,1)(0,1,1)[12] Modelinin 2022 için aylık Elektrik Tüketim Tahminleri",align = "c")

ARIMA Modeli ile elektrik Tüketim Öngörüsü:

plot(forecast(en_iyi_model,h=120),main = "ARIMA(2,1,1)(0,1,1)[12] modelinin İlerleyen Yıllar İçin Tahminleri")

Veri ve Script dosyası için: GİTHUB REPO