Verinin yüklenmesi:

veri <-read.csv("https://raw.githubusercontent.com/gungorrbaris/zaman-serisi-analizi-R/main/data/Table_7.6_Electricity_End_Use.csv")
knitr::kable(head(veri,n=10), align = "c")

Month	Electricity.End.Use..Total
1973 January	144505.2
1973 February	139546.1
1973 March	137102.3
1973 April	131365.9
1973 May	131360.9
1973 June	140293.0
1973 July	152562.2
1973 August	157480.8
1973 September	157309.6
1973 October	146042.0

Verinin Düzenlenmesi:

Tarih değişkenini Ay-Yıl formatına getirelim:

tarih = seq(from = as.Date("1973-01-01"), to = as.Date("2021-11-01"), by = 'month')
veri$Month <- tarih
veri$Month <-format(veri$Month, "%m-%Y")
knitr::kable(head(veri), align = "c")

Month	Electricity.End.Use..Total
01-1973	144505.2
02-1973	139546.1
03-1973	137102.3
04-1973	131365.9
05-1973	131360.9
06-1973	140293.0

Değişken isimlerini türkçeleştirelim:

colnames(veri) <- c("Tarih","Elektrik_Tuketimi")
knitr::kable(head(veri), align = "c")

Tarih	Elektrik_Tuketimi
01-1973	144505.2
02-1973	139546.1
03-1973	137102.3
04-1973	131365.9
05-1973	131360.9
06-1973	140293.0

Zaman Serisinin Oluşturulması

veri_ts <- ts(data = veri$Elektrik_Tuketimi, start = c(1973, 01), end = c(2021, 11), frequency = 12 )

Verimizde gözlemler aylık olduğu için frekans değeri (frequency) 12 olarak belirlenmelidir.

Zaman Serisi Grafiğinin Çizilmesi

ts.plot(veri_ts,gpars=list(xlab="Zaman", ylab="Elektrik Tüketimi"))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Pozitif yönlü artış vardır. Bu yüzden Serinin artan bir trende sahip olduğunu söyleyebiliriz.

• Seride düzenli dalgalanmaların olduğu görülmektedir. Bu seride mevsimsellik olabileceğini gösterir. Daha kesin sonuç için ACF grafiğini çizelim.

ACF Grafiğinin Çizilmesi

! BİLGİ !

Gecikmeli seri: Serilerdeki verilerin dönem kaydırılması işlemi ile ortaya çıkan serilerdir. Zt bir zaman serisi değişkeni ise; bir dönem gecikmeli zaman serisi Zt-1, iki dönem gecikmeli Zt-2 ve k dönem gecikmeli Zt-k ile gösterilir.

Otokorelasyon katsayısı: Zaman serileri ile bu serilerin gecikmeli serileri arasındaki ilişkileri verir.

ACF: Otokorelasyon fonksiyonu (Autocorrelation function) demektir. Otokorelasyon katsayısı değerlerinden oluşur.

Seride trendin olduğunu anlamak için ACF grafiğindeki ilk dört gecikmeye bakmak yeterlidir. İlk dört gecikme sınırlar dışındaysa seri için “trende sahiptir” diyebiliriz.

library(fpp)

## Zorunlu paket yükleniyor: forecast

## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

## Zorunlu paket yükleniyor: fma

## Zorunlu paket yükleniyor: expsmooth

## Zorunlu paket yükleniyor: lmtest

## Zorunlu paket yükleniyor: zoo

## 
## Attaching package: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

## Zorunlu paket yükleniyor: tseries

Acf(veri_ts,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Orijinal veri ACF Grafiği")

ACF Grafiğine bakıldığında:

• Tüm gecikmeler (4 gecikme olması yeterlidir) sınırlar dışında olduğu için zaman serisinin trende sahip olduğu söylenebilir. Bu yüzden serinin farkı alınıp durağan hale getirilmelidir.

• Trend ile birlikte düzenli dalgalanmaların olduğu gözükse de baskın bir mevsimsellikten şu an için bahsedemeyiz.

Birinci Farkın Alınması

! BİLGİ !

Fark Alınması: Zaman serisinin akışkanlı bir şekilde son değerlerinden belli bir dönem önceki değerlerinin çıkarılması işlemidir. Bu işlem sayesinde serideki trend ya da mevsimsel dalgalanmaları yok etmek mümkün olmaktadır.

veri_birinci_fark <- diff(veri_ts, differences = 1)

Farkı alınmış seri için ACF:

Acf(veri_birinci_fark,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Birinci Fark sonrası ACF Grafiği")

MEVSİMSELLİK

Birinci Farkı alınmış seri için ACF Grafiğine bakıldığında:

• Yine tüm gecikmeler sınırlar dışında olduğu için birinci farkı alınmış zaman serisinin de trende sahip olduğu söylenebilir. Fakat bir öncekine göre bu ACF grafiğinde baskın bir mevsimsellik görülüyor. Dalgalanmalar ve gecikmelerdeki düzenli sıçramalar bunu destekliyor.

α, β ve γ’nın Belirlenmesi:

Kurulan model çarpımsal model olacağı için fonksiyon içindeki model değişkeni “MAM” olmalıdır.

Winters2<- forecast::ets(veri_ts, model = "MAM")
summary(Winters2)

## ETS(M,A,M) 
## 
## Call:
##  forecast::ets(y = veri_ts, model = "MAM") 
## 
##   Smoothing parameters:
##     alpha = 0.3292 
##     beta  = 9e-04 
##     gamma = 0.2528 
## 
##   Initial states:
##     l = 141713.6213 
##     b = 564.3679 
##     s = 0.991 0.958 0.9931 1.0717 1.0836 1.0489
##            0.9816 0.9136 0.9304 0.9685 0.9911 1.0685
## 
##   sigma:  0.0231
## 
##      AIC     AICc      BIC 
## 13919.11 13920.19 13993.49 
## 
## Training set error measures:
##                     ME     RMSE      MAE        MPE     MAPE      MASE
## Training set -378.7723 6176.062 4754.346 -0.2122225 1.822243 0.6141731
##                   ACF1
## Training set 0.3226722

Model çıktısına bakıldığında:

• l = 141713.6213 -> ortalama düzeyin başlangıç değeridir.

• b = 564.3679 -> eğimin başlangıç değeridir.

• s değerine bakıldığında ise 12 farklı değer (periyot sayımız 12 olduğu için) vardır. Bu değerler mevsimsel terimin başlangıç değerleridir. Başlangıç değerleri kullanılarak Optimal düzleştirme katsayıları,

  • α = 0.3292
  • β = 0
  • γ = 0.2528 olarak elde edilmiştir.

Tahmin, ACF ve Dağılım Grafikleri:

library(forecast)
checkresiduals(Winters2, lag = 42)

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ETS(M,A,M)
## Q* = 169.05, df = 26, p-value < 2.2e-16
## 
## Model df: 16.   Total lags used: 42

Tahmin ve Hata Serilerinin Bulunması:

α, β ve γ düzleştirme katsayıları kullanılarak serinin tahmin değerleri aşağıdaki gibi bulunabilir.

tahmin_win2<- Winters2[["fitted"]]

Tahmin edilen ilk 12 değeri (2022 yılı ABD elektrik tüketim tahminlerini) görelim:

ongoru2 <- forecast(Winters2,h=12)
knitr::kable(ongoru2[["mean"]],col.names = "2022 yılı ABD elektrik tüketimi - Çarpımsal Winters Tahminleri", align = "c")

2022 yılı ABD elektrik tüketimi - Çarpımsal Winters Tahminleri
327095.8
340700.8
311116.3
311409.0
288255.3
307903.8
349996.3
395149.7
393769.1
349813.4
318125.3
300226.6

Tahmin ve Orijinal serileri birlikte çizdirelim:

plot( window(veri_ts), 
      xlab="Zaman", ylab="",lty=1, col=4, lwd=2)
lines( window(tahmin_win2) ,lty=3,col=2,lwd=3)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektrik_Tuketimi)),
               expression(paste(Çar.Winters_Tahmini))),
       lwd=c(2,2),lty=c(1,3), cex=0.7, col=c(4,2))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Tahmin ile orijinal seri arasında uyum olduğu görülmektedir. Yani görsel olarak Çarpımsal Winters yöntemi ile yapılan tahminlerin gerçeğe yakın olduğunu söyleyebiliriz.

• Fakat emin olmak için hataların akgürültü olup olmadığına bakmamız gerekmektedir.

Hata Serisi:

α, β ve γ düzleştirme katsayıları kullanılarak serinin hata değerleri aşağıdaki gibi bulunabilir.

hata_win2<- Winters2[["residuals"]]
plot.ts(hata_win2)

Hatalar Akgürültü mü?

Ho: Hatalar Akgürültüdür.(Hatalar arasında ilişki yoktur.)
H1: Hatalar Akgürültü değildir.(Hatalar arasında ilişki vardır.)

Hatalar için ACF Grafiği:

Acf(hata_win2, lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Hatalar için ACF Grafiği")

Hatalar için ACF Grafiğine bakıldığında:

• İlk dört gecikmeden üç tanesinin sınırları geçtiği, birinin sınırlar içinde kaldığı görülmektedir.

• Hataların akgürültü olduğunu söyleyebiliriz. Yani Hatalar arasında ilişki yoktur. Kurulan model tahmin etmede kullanılabilir.

Çarpımsal Winter Yöntemi ile elektrik Tüketim Öngörüsü Grafiği:

plot(forecast(Winters2,h=120),main = "Çarpımsal Winter Yönteminin İlerleyen Yıllar İçin Tahminleri")

SONUÇ

Bir önceki adımda görüldüğü üzere;

• Hatalar Arasında ilişki olmadığını yani hataların akgürültü olduğunu gördük.

• Sonuç olarak ABD’deki aylık elektrik tüketimi serisinin Regresyon analizi için kullanılan Çarpımsal Winters Üstel Düzleştirme Yöntemi uygundur.