Verinin yüklenmesi:

veri <-read.csv("https://raw.githubusercontent.com/gungorrbaris/zaman-serisi-analizi-R/main/data/Table_7.6_Electricity_End_Use.csv")
knitr::kable(head(veri,n=10), align = "c")

Verinin Düzenlenmesi:

Tarih değişkenini Ay-Yıl formatına getirelim:

tarih = seq(from = as.Date("1973-01-01"), to = as.Date("2021-11-01"), by = 'month')
veri$Month <- tarih
veri$Month <-format(veri$Month, "%m-%Y")
knitr::kable(head(veri), align = "c")

Değişken isimlerini türkçeleştirelim:

colnames(veri) <- c("Tarih","Elektrik_Tuketimi")
knitr::kable(head(veri), align = "c")

Zaman Serisinin Oluşturulması

veri_ts <- ts(data = veri$Elektrik_Tuketimi, start = c(1973, 01), end = c(2021, 11), frequency = 12 )

Verimizde gözlemler aylık olduğu için frekans değeri (frequency) 12 olarak belirlenmelidir.

Zaman Serisi Grafiğinin Çizilmesi

ts.plot(veri_ts,gpars=list(xlab="Zaman", ylab="Elektrik Tüketimi"))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Pozitif yönlü artış vardır. Bu yüzden Serinin artan bir trende sahip olduğunu söyleyebiliriz.

• Seride düzenli dalgalanmaların olduğu görülmektedir. Bu seride mevsimsellik olabileceğini gösterir. Daha kesin sonuç için ACF grafiğini çizelim.

ACF Grafiğinin Çizilmesi

! BİLGİ !

Gecikmeli seri: Serilerdeki verilerin dönem kaydırılması işlemi ile ortaya çıkan serilerdir. Zt bir zaman serisi değişkeni ise; bir dönem gecikmeli zaman serisi Zt-1, iki dönem gecikmeli Zt-2 ve k dönem gecikmeli Zt-k ile gösterilir.

Otokorelasyon katsayısı: Zaman serileri ile bu serilerin gecikmeli serileri arasındaki ilişkileri verir.

ACF: Otokorelasyon fonksiyonu (Autocorrelation function) demektir. Otokorelasyon katsayısı değerlerinden oluşur.

Seride trendin olduğunu anlamak için ACF grafiğindeki ilk dört gecikmeye bakmak yeterlidir. İlk dört gecikme sınırlar dışındaysa seri için “trende sahiptir” diyebiliriz.

library(fpp)

## Zorunlu paket yükleniyor: forecast

## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

## Zorunlu paket yükleniyor: fma

## Zorunlu paket yükleniyor: expsmooth

## Zorunlu paket yükleniyor: lmtest

## Zorunlu paket yükleniyor: zoo

## 
## Attaching package: 'zoo'

## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric

## Zorunlu paket yükleniyor: tseries

Acf(veri_ts,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Orijinal veri ACF Grafiği")

ACF Grafiğine bakıldığında:

• Tüm gecikmeler (4 gecikme olması yeterlidir) sınırlar dışında olduğu için zaman serisinin trende sahip olduğu söylenebilir. Bu yüzden serinin farkı alınıp durağan hale getirilmelidir.

• Trend ile birlikte düzenli dalgalanmaların olduğu gözükse de baskın bir mevsimsellikten şu an için bahsedemeyiz.

Birinci Farkın Alınması

! BİLGİ !

Fark Alınması: Zaman serisinin akışkanlı bir şekilde son değerlerinden belli bir dönem önceki değerlerinin çıkarılması işlemidir. Bu işlem sayesinde serideki trend ya da mevsimsel dalgalanmaları yok etmek mümkün olmaktadır.

veri_birinci_fark <- diff(veri_ts, differences = 1)

Farkı alınmış seri için ACF:

Acf(veri_birinci_fark,lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Birinci Fark sonrası ACF Grafiği")

MEVSİMSELLİK

Birinci Farkı alınmış seri için ACF Grafiğine bakıldığında:

• Yine tüm gecikmeler sınırlar dışında olduğu için birinci farkı alınmış zaman serisinin de trende sahip olduğu söylenebilir. Fakat bir öncekine göre bu ACF grafiğinde baskın bir mevsimsellik görülüyor. Dalgalanmalar ve gecikmelerdeki düzenli sıçramalar bunu destekliyor.

REGRESYON ANALİZİ

Zaman Serileri için Regresyon Analizinde, serinin mevsimsel olup olmamasına göre yöntemler değişiklik göstermektedir.

Sadece trende sahip seriler (Mevsimsel olmayan) için;
Basit Doğrusal Regresyon
Birinci Farklar Regresyon Modeli
Üstel Regresyon Modeli
Karesel Regresyon Modeli
Lojistik Regresyon Modeli
Kübik Regresyon Modeli
gibi yöntemler kullanılabilir.

Hem trende hem de mevsimselliğe sahip seriler için ise önceki yazıda gördüğümüz Toplamsal Ayrıştırma Yönteminden yararlanarak Regresyon analizini uygulayabiliriz.

Kaynak: Prof. Dr. Cem Kadılar, Dr. Hatice Öncel Çekim SPSS ve R Uygulamalı Zaman Serileri Analizine Giriş

Buradaki başlıkta; Trende sahip serinin birinci farkını aldığımızda serinin aynı zamanda mevsimselliğe sahip olduğunu ACF grafiğine bakarak açıklamıştık.

Kullandığımız veri mevsimselliğe sahip olduğu için bu bölümde sadece Mevsimsel Serilerde Regresyon Analizi yöntemleri gösterilecektir.

! BİLGİ !

Eğer bir seride hem trent hem de mevsimsellik var ise bu seriye uygulanacak regresyon modeli

biçiminde olmaktadır.

m: serinin trendinin yapısına göre polinom derecesidir.
- m=l doğrusal trende sahip seri içindir.
- m=2 karesel regresyona modeline uygun trende sahip seri içindir.
- m=3 kübik regresyon modeline uygun trende sahip seri içindir.

Formüldeki ilk ∑ ifadesi: serinin trend bileşenini açıklar.

s:periyot olmak üzere [s /2] periyodun yarısının tamsayı kısmını gösterir. Örneğin, periyot 9 ise [s /2], 4 olmaktadır.

Burada j indisli toplam, yani köşeli parantez içindeki sinüs ve kosinüs fonksiyonları serinin mevsimsel bileşenini açıklamaktadır. Her regresyon modelinde olduğu gibi bu regresyon denkleminde de tüm katsayıların istatistiksel olarak önemli olması gerekmektedir.

Sinüs ve kosinüs çiftine harmonik adı verilmektedir. Böylece, j=l için birinci harmonik, j=2 için ikinci harmonik şeklinde j= [s /2] oluncaya kadar regresyon denklemine harmonik eklenir. Ancak her ekleme sonucunda ci ve di regresyon katsayılarının önemlilik kontrolü yapılır.

Bu regresyon katsayılarından biri önemsiz olduğunda harmonik ekleme işlemine son verilir ve önemsiz olan regresyon katsayısına ait terim modelden atılarak serinin tahmininde katsayılarının hepsi önemli olan regresyon modeli kullanılır.

Uygulama verilerinde genellikle sadece birinci harmonikler seriyi açıklamada yeterli olmaktadır. Dolayısıyla, genellikle ikinci harmonikler regresyon modeline eklenmemektedir. Ayrıca, j= [s/2] için periyot çift sayı iken sinüs fonksiyonu, yani sin(nt) hep 0 değerini alacağından ilgili harmonikte sinüs serisinin oluşturulmamasına ve regresyon modeline eklenmemesine dikkat edilmelidir.

Kaynak: Prof. Dr. Cem Kadılar, Dr. Hatice Öncel Çekim SPSS ve R Uygulamalı Zaman Serileri Analizine Giriş

t, Sin ve Cos Terimlerinin oluşturulması

Serimiz, hem trende hem de mevsimsel dalgalanmaya sahip olduğundan regresyon modelinin; t, sinüs ve kosinüs terimlerini içermesi gerekmektedir.

t <- 1: 1: 587

Veride 144 gözlem bulunduğu için bu değerler girilmiştir.

sin1<-sin(2*3.1416*t/12)
cos1<-cos(2*3.1416*t/12)

Sin ve Cos değerleri bulunurken yazılan formüldeki 12 değeri, daha önceki bölümlerde bulduğumuz periyottur.

veri, t, sin ve cos terimleri ile yeni bir veri oluşturulur:

veri_mev_yeni <- as.data.frame(cbind(veri_ts, t, sin1, cos1))
names(veri_mev_yeni)<- c("y", "t", "sin1", "cos1")

knitr::kable(head(veri_mev_yeni), align = "c")

Regresyon Modelinin Oluşturulması

regresyon.model1<-lm(data = veri_mev_yeni, y ~ t+sin1+cos1)
summary(regresyon.model1)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + sin1 + cos1, data = veri_mev_yeni)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -76521 -16912  -2573  17977  67127 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149688.507   2123.682  70.485  < 2e-16 ***
## t              367.920      6.259  58.787  < 2e-16 ***
## sin1        -14720.908   1498.521  -9.824  < 2e-16 ***
## cos1         -7451.091   1500.895  -4.964 9.06e-07 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 25690 on 583 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8605, Adjusted R-squared:  0.8598 
## F-statistic:  1199 on 3 and 583 DF,  p-value: < 2.2e-16

sin2<-sin(2*3.1416*2*t/12)
cos2<-cos(2*3.1416*2*t/12)

veri_mev_yeni2 <- as.data.frame(cbind(veri_ts, t, sin1, cos1, sin2, cos2))

names(veri_mev_yeni2)<- c("y", "t", "sin1", "cos1", "sin2", "cos2")

knitr::kable(head(veri_mev_yeni2), align = "c")

regresyon.model2<-lm(data= veri_mev_yeni2, y ~ t+sin1+cos1+sin2+cos2)
summary(regresyon.model2)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + sin1 + cos1 + sin2 + cos2, data = veri_mev_yeni2)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -60416 -12872   -180  15512  48319 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149491.070   1663.554  89.862  < 2e-16 ***
## t              368.601      4.903  75.186  < 2e-16 ***
## sin1        -14718.377   1173.821 -12.539  < 2e-16 ***
## cos1         -7445.983   1175.687  -6.333 4.81e-10 ***
## sin2         22502.242   1173.708  19.172  < 2e-16 ***
## cos2          1480.181   1175.687   1.259    0.209    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 20120 on 581 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9147, Adjusted R-squared:  0.914 
## F-statistic:  1246 on 5 and 581 DF,  p-value: < 2.2e-16

regresyon.model3<-lm(data= veri_mev_yeni2, y ~ t+sin1+cos1+sin2)
summary(regresyon.model3)

## 
## Call:
## lm(formula = y ~ t + sin1 + cos1 + sin2, data = veri_mev_yeni2)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -61153 -12957     35  15170  47578 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 149488.533   1664.389  89.816  < 2e-16 ***
## t              368.601      4.905  75.148  < 2e-16 ***
## sin1        -14718.379   1174.411 -12.533  < 2e-16 ***
## cos1         -7451.037   1176.271  -6.334 4.77e-10 ***
## sin2         22502.238   1174.298  19.162  < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 20130 on 582 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9145, Adjusted R-squared:  0.9139 
## F-statistic:  1555 on 4 and 582 DF,  p-value: < 2.2e-16

library(fpp)
dwtest(data= veri_mev_yeni2, y ~ t+sin1+cos1+sin2)

## 
##  Durbin-Watson test
## 
## data:  y ~ t + sin1 + cos1 + sin2
## DW = 0.3644, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true autocorrelation is greater than 0

Kurulan Model İçin Tahmin, Hata ve Tahminin Sınır Serileri

Zt = 149488.533 + 368.601t - 14718.379sin(2πt/12) - 7451.037cos(2πt/12) + 22502.238sin(4πt/12) + εi modeli için:

tahmin_model3<-predict(regresyon.model3)
plot.ts(tahmin_model3)

sinir_model3<-predict(regresyon.model3, interval = 'confidence' ,level = .95)
plot.ts(sinir_model3)

hata_model3<-resid(regresyon.model3)
plot.ts(hata_model3)

plot( window(veri_mev_yeni2$y),
      xlab="", ylab="", type="l", lty=3, col=2, lwd=2)
lines(window(sinir_model3[,2]) ,type="l",lty=1,col=4,lwd=2)
lines(window(sinir_model3[,3]) ,type="l",lty=1,col=3,lwd=2)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektri_Tüketimi)),
                   expression(paste(Altsinir)),
                   expression(paste(Üstsinir))),
       lwd=c(2,2,3),lty=c(3,1,2), cex=0.7, col=c(2,4,3))

Modelin Güvenirliği

Toplamsal Regresyon modelinin orijinal seri üzerinde geçerli bir model olup olmadığını kontrol edelim.

Orijinal seri ile tahmin serisinin uyumu:

plot( window(veri_mev_yeni2$y), 
      xlab="Zaman", ylab="",type="l",lty=1, col=4, lwd=2)
lines( window(tahmin_model3),lty=3,col=2,lwd=3)
legend("topleft",c(expression(paste(Elektrik_tüketimi)),
                   expression(paste(Tahmin))),
       lwd=c(2,2),lty=c(1,3), cex=0.6, col=c(4,2))

Zaman Serisi Grafiğine bakıldığında:

• Tahmin ile orijinal seri arasında sapmanın yüksek olduğunu dolayısıyla uyum göstermediğini söyleyebiliriz.

• Fakat emin olmak için hataların akgürültü olup olmadığına bakabiliriz.

Acf(hata_model3, lag.max = 42,  ylim=c(-1,1), lwd=5,main="Hatalar için ACF Grafiği")

Box.test(hata_model3,type = "Ljung",lag = 42)

## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  hata_model3
## X-squared = 8221.9, df = 42, p-value < 2.2e-16

SONUÇ

Bir önceki adımda görüldüğü üzere;

• Hatalar Arasında ilişki olduğunu yani hataların akgürültü olmadığını gördük.

• Sonuç olarak ABD’deki aylık elektrik tüketimi serisinin Regresyon analizi için kullanılan Toplamsal Regresyon denklemi uygun değildir.